Diferensial (Turunan) dalam Ilmu Ekonomi dan Bisnis

Latar Belakang

Dalam ilmu ekonomi dikenal adanya suatu keseimbangan atas suatu kondisi ekonomi, baik itu keseimbangan pasar tertutup (price equilibrium dan quantity equilibrium), keseimbangan pendapatan nasional, atau kasus-kasus keseimbangan lainnya. Keseimbangan suatu kondisi ekonomi tentunya tidak akan senantiasa berada pada satu titik. Ia akan berubah seiring dengan adanya perubahan atas variabel-variabel yang mempengaruhinya, baik itu variabel dalam model (endogen) atau variabel luar model (eksogen).

Dalam sebuah model (persamaan), adanya perubahan nilai atas suatu variabel tentunya akan mempengaruhi nilai dari variabel lainnya. Seberapa besar tingkat perubahan (rate of change) suatu variabel akan mempengaruhi tingkat perubahan variabel lainnya sering diselesaikan dengan pendekatan diferensial. Secara umum diferensial membahas tentang pengaruh perubahan suatu variabel terhadap variabel lainnya dalam suatu persamaan matematika.

Pengertian :

Diferensial dapat diartikan sebagai tingkat perubahan suatu fungsi atas adanya perubahan variabel bebas dari fungsi tersebut.

Misalkan fungsi :

(dengan y sebagai variabel terikat dan x sebagai variabel bebasnya, artinya nilai y dipengaruhi oleh nilai x)

Maka diferensial dapat diartikan sebagai tingkat perubahan dari setiap variabel y sebagai tanggapan terhadap suatu perubahan dalam variabel x.

Dalam kasus ekonomi dapat dicontohkan sebagai berikut:

Misalkan pada fungsi permintaan, hubungan antara jumlah barang yang diminta dengan tingkat harga. Adanya perubahan tingkat harga pada suatu titik tertentu akan mempengaruhi jumlah barang yang diminta. Pada setiap kasus dan setiap titik bisa sama ataupun berbeda, bergantung terhadap jenis fungsi permintaannya itu sendiri.
Contoh (klasik) lainnyadari suatu fungsi utility (kegunaan) atas segelas air.

Diferensial (turunan) fungsi dapat dinotasikan sebagai berikut:

Misalkan ada beberapa fungsi sebagai berikut:

Maka turunan dari fungsi-fungsi di atas dapat dituliskan sebagai berikut:

Secara matematis, untuk mencari persamaan dari suatu turunan fungsi dilakukan dengan pendekatan limit fungsi, tetapi dalam pembahasan ini, kita langsung menggunakan rumus dan aturan dalam turunan guna memudahkan penyelesaian fungsi turunan.

Rumus dan aturan-aturan dalam diferensial

1) Turunan dari fungsi konstan/konstanta

dengan k = konstanta, maka

2) Turunan fungsi x berpangkat n

dengan n = sembarang bilangan, maka

3) Turunan fungsi dengan koefisien c,

maka

4) Aturan penjumlahan dan pengurangan fungsi dalam turunan,

maka

5) Aturan perkalian fungsi dalam turunan,

maka

6) Aturan pembagian fungsi dalam turunan,

maka

7) Aturan rantai dalam turunan,

maka

atau

maka

Contoh :

Tentukan turunan dari fungsi-fungsi di bawah ini!

Penerapan Turunan

Di bawah ini, beberapa penerapan turunan (dalam melihat karakteristik fungsi) yang sering digunakan:

1. Kemonotonan,

Mengidentifikasi apakah fungsi (grafik fungsi) bergerak naik (ke atas) atau bergerak turun (ke bawah)

2. Titik Ekstrem (Maksimum/minimum)

Mengidentifikasi titik balik fungsi (jika ada)

3. Titik Belok

Mengidentifikasi kecekungan fungsi, apakah cekung ke atas atau ke bawah.

Sedangkan, penerapan diferensial (turunan) dalam ilmu bisnis & ekonomi (yang dipelajari) adalah sebagai berikut:

Elastisitas
Fungsi Marginal
Analisis minimum (pada fungsi biaya)
Analisis maksimal (pada fungsi laba dan pajak)

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

1. Kemonotonan

Suatu fungsi [misal f(x)] dikatakan mengalami :

> Kenaikan (naik) pada kurvanya disetiap titik x jika

; dan

> Penurunan (turun) pada kurvanya disetiap titik x jika

2. Titik Ekstrem

Titik ekstrem atau titik balik menggambarkan kondisi dimana suatu fungsi berada pada titik baliknya, apakah itu titik balik maksimum (kondisi dari naik ke turun) ataupun titik balik minimum (kondisi dari turun ke naik). Kedua titik ini (maksimum atau minimum) tercapai pada saat yang sama, yaitu pada saat turunan pertama fungsi tersebut sama dengan nol.

Fungsi f(x) mengalami titik balik (jika ada) pada saat:

3. Titik Belok

Titik belok menggabarkan kondisi perubahan arah kecekungan fungsi suatu kurva. Apakah kurva fungsi cekung ke atas atau cekung ke bawah. Apabila kondisi kurva fungsi cekung ke atas, maka pada kondisi tersebut terjadi titik balik minimum. Sedangkan, apabila kondisi kurva fungsi cekung ke bawah, maka pada kondisi tersebut terjadi titik balik maksimum.

Gambar 1. Kurva fungsi cekung ke bawah

Gambar 2. Kurva fungsi cekung ke atas

Titik belok terjadi pada saat turunan kedua fungsi tersebut sama dengan nol.

Fungsi f(x) mengalami titik belok (jika ada) pada saat:

Gambar 3. Kurva fungsi polinomial

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =