Kompleksitas Algoritma

›Sebuah masalah dapat mempunyai banyak algoritma penyelesaian. Contoh: masalah pengurutan (sort), ada puluhan algoritma pengurutan.

Sebuah algoritma tidak saja harus benar, tetapi juga harus efisien. Algoritma yang bagus adalah algoritma yang efisien. Efisiensi suatu algoritma diukur dari berapa jumlah waktu dan ruang (space) memori yang dibutuhkan untuk menjalankannya. Algoritma yang efisien adalah algoritma yang meminimumkan kebutuhan waktu dan ruang.

Kebutuhan waktu dan ruang suatu algoritma bergantung pada ukuran masukan (n), yang menyatakan jumlah data yang dip roses. Efisiensi algoritma dapat digunakan untuk menilai algoritma yang terabit. Mengapa Kita Memerlukan Algoritma yang Efisien ?

Model Perhitungan Kebutuhan Waktu/Ruang

• Kita dapat mengukur waktu yang diperlukan oleh sebuah algoritma dengan menghitung banyaknya operasi/instruksi yang dieksekusi.
• Jika kita mengetahui besaran waktu (dalam satuan detik) untuk melaksanakan sebuah operasi tertentu, maka kita dapat menghitung berapa waktu sesungguhnya untuk melaksanakan algoritma tersebut.

Contoh 1. Menghitung ratarata

a1

a2

a3

…

an

Array/Larik bilangan bulat

a. Operasi pengisian nilai (jumlah=0,  k=1, jumlah=jumlah+a_k, k=k+1, dan r =jumlah/n). Jumlah seluruh operasi pengisian nilai adalah  t₁ = 1 + 1 + n + n + 1 = 3 + 2n

b. Operasi penjumlahan (jumlah+a_k, dan k+1).  Jumlah seluruh operasi penjumlahan adalah  t₂ =  n + n = 2n

c.  Operasi pembagian (jumlah/n). Jumlah seluruh operasi pembagian adalah  t₃ = 1

Total kebutuhan waktu algoritma HitungRataRata:     t = t₁ + t₂ + t₃ = (3 + 2n)a + 2nb + c  detik

Model perhitungan kebutuhan waktu seperti di atas kurang dapat diterima:

1. Dalam praktek kita tidak mempunyai informasi berapa waktu sesungguhnya untuk melaksanakan suatu operasi tertentu
2. Komputer dengan arsitektur yang berbeda akan berbeda pula lama waktu untuk setiap jenis operasinya.

Selain bergantung pada komputer, kebutuhan waktu sebuah program juga ditentukan oleh compiler bahasa yang digunakan.

Model abstrak pengukuran waktu/ruang harus independen dari pertimbangan mesin dan compiler

Besaran yang dipakai untuk menerangkan model abstrak pengukuran waktu/ruang ini adalah kompleksitas algoritma.

Ada dua macam kompleksitas algoritma, yaitu kompleksitas waktu dan kompleksitas ruang.

• Kompleksitas waktu, T(n), diukur dari jumlah tahapan komputasi yang dibutuhkan untuk menjalankan algoritma sebagai fungsi dari ukuran masukan n.
• Kompleksitas ruang, S(n), diukur dari memori yang digunakan oleh struktur data yang terdapat di dalam algoritma sebagai fungsi dari ukuran masukan n.

Dengan menggunakan besaran kompleksitas waktu/ruang algoritma, kita dapat menentukan laju peningkatan waktu (ruang) yang diperlukan algoritma dengan meningkatnya ukuran masukan n.

Kompleksitas Waktu

Dalam praktek, kompleksitas waktu dihitung berdasarkan jumlah operasi abstrak yang mendasari suatu algoritma, dan memisahkan analisisnya dari implementasi.

Contoh 2.

Tinjau algoritma menghitung ratarata pada Contoh 1. Operasi yang mendasar pada algoritma tersebut adalah operasi penjumlahan elemen-elemen a_k (yaitu jumlah=jumlah+a_k),

Kompleksitas waktu HitungRataRata adalah  T(n) = n.

Contoh 3. Algoritma untuk mencari elemen terbesar di dalam sebuah larik (array) yang berukuran n elemen.

procedure CariElemenTerbesar(input a1, a2, …, an : integer, output maks : integer) { Mencari elemen terbesar dari sekumpulan elemen larik integer a1, a2, …, an.   Elemen terbesar akan disimpan di dalam maks.   Masukan: a1, a2, …, an   Keluaran: maks (nilai terbesar) } Deklarasi k : integer   Algoritma maks=a1 k=2 while k <= n do if ak > maks then maks=ak endif i-i+1 endwhile { k > n }

Kompleksitas waktu algoritma dihitung berdasarkan jumlah operasi perbandingan elemen larik (A[i] > maks).

Kompleksitas waktu CariElemenTerbesar :  T(n) = n – 1.

Kompleksitas waktu dibedakan atas tiga macam :

1. T_max(n) : kompleksitas waktu untuk kasus terburuk (worst case) –> kebutuhan waktu maksimum.

2. T_min(n) : kompleksitas waktu untuk kasus terbaik (best case) –> kebutuhan waktu minimum.

3. T_avg(n): kompleksitas waktu untuk kasus rata-rata (average case) –> kebutuhan waktu secara rata-rata

 

Contoh 4. Algoritma sequential search.

procedure PencarianBeruntun(input a1, a2, …, an : integer, x : integer, output idx : integer) Deklarasi k : integer ketemu : boolean   { bernilai true jika x ditemukan atau false jika x tidak ditemukan }   Algoritma:   k=1 ketemu = false while (k <= n) and (not ketemu) do if ak = x then ketemu=true else    k = k + 1 endif endwhile { k > n or ketemu }   if ketemu then   { x ditemukan } idx=k else idx= 0       { x tidak ditemukan } endif

Jumlah operasi perbandingan elemen tabel:

1. Kasus terbaik: ini terjadi bila a₁ = x

                          T_min(n) = 1

       2.  Kasus terburuk: bila a_n = x   atau   x  tidak ditemukan.

                          T_max(n)  = n

3. Kasus rata-rata: Jika x ditemukan pada posisi ke-j, maka operasi perbandingan (a_k = x) akan dieksekusi sebanyak j kali.

                           T_avg(n) = (1+2+3+..+n)/n = (1/2n(1+n))/n = (n+1)/2

 

Contoh 5. Algoritma pencarian biner (bynary  search).

procedure PencarianBiner(input a1, a2, …, an : integer, x : integer, output idx : integer) Deklarasi i, j, mid : integer ketemu : boolean   Algoritma i=1 j=n ketemu=false while (not ketemu) and ( i <= j) do mid = (i+j) div 2 if amid = x then ketemu = true else if amid < x then    { cari di belahan kanan } i=mid + 1 else                  { cari di belahan kiri } j=mid – 1; endif endif endwhile {ketemu or i > j }   if ketemu then idx=mid else idx=0 endif

1. Kasus terbaik :  T_min(n) = 1

2. Kasus terburuk :  T_max (n) = ²log n

 

Contoh 6. Algoritma algoritma pengurutan pilih (selection sort).

procedure Urut(input/output a1, a2, …, an : integer) Deklarasi i, j, imaks, temp : integer   Algoritma for i=n downto 2 do   { pass sebanyak n – 1 kali } imaks=1 for j=2 to i do if aj > aimaks then imaks=j endif endfor { pertukarkan aimaks dengan ai } temp=ai ai=aimaks aimaks=temp   endfor

a.  Jumlah operasi perbandingan element. Untuk setiap pass ke-i,

         i = 1 –>  jumlah perbandingan  = n – 1

        i = 2 –>  jumlah perbandingan = n – 2

        i = 3  –> jumlah perbandingan = n – 3

:

        i = k –>  jumlah perbandingan = n – k

:

        i = n – 1  –> jumlah perbandingan = 1

Jumlah seluruh operasi perbandingan elemen-elemen larik adalah    T(n) = (n – 1) + (n – 2) + … + 1

Ini adalah kompleksitas waktu untuk kasus terbaik dan terburuk, karena algoritma Urut tidak bergantung pada    batasan apakah data masukannya sudah terurut atau acak.

 

b.  Jumlah operasi pertukaran

Untuk setiap i dari 1 sampai n – 1, terjadi satu kali pertukaran elemen, sehingga jumlah operasi pertukaran seluruhnya   adalah   T(n) = n – 1.

Jadi, algoritma pengurutan maksimum membutuhkan n(n – 1 )/2 buah operasi perbandingan elemen dan n – 1  buah operasi pertukaran.